Suite construite au hasard

\begin{flushright} \textit{Souliers et cape au vent dans les brumes fortuites,\\ d'un tirage au suivant, construisons notre suite.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill \textit{D'après Bac S Antilles Guyane, sept 1997}\\ On dispose de 3 urnes U$_{1}$, U$_{2}$, U$_{3}$ contenant chacune 2 boules indiscernables. Dans U$_{1}$ une boule est marquée G, l'autre est marquée A ; dans U$_{2}$ une boule est marquée 3, l'autre est marquée 5 ; dans U$_{3}$ une boule est marquée $\dfrac{1}{2}$, l'autre est marquée 2. Une épreuve E consiste à tirer au hasard une boule dans chaque urne. On définit une suite $u$ de la façon suivante : si la boule tirée dans U$_{1}$ est marquée A, la suite est arithmétique, si elle est marquée G, la suite est géométrique ; la boule tirée dans U$_{2}$ désigne le premier terme $u_{0}$ et la boule tirée dans U$_{3}$ désigne la raison. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'avoir : \begin{enumerate} \item une suite $u$ arithmétique ; \item une suite $u$ convergente ; \item une suite $u$ telle que $u_{4}$ soit un nombre entier pair. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité d'avoir une suite $u$ qui ne soit pas convergente sachant qu'elle est géométrique. \item Un joueur tire une boule dans chaque urne et définit ainsi une suite numérique $u$ : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si $u$ est géométrique, il gagne 5~euros; \item si $u$ est arithmétique et $u_{4} \leqslant 7$, il perd 4~euros; \item si $u$ est arithmétique et $u_{4} > 7$, il perd 6~euros. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain (algébrique) du joueur : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item donner la loi de probabilité de $X$ ; \item calculer l'espérance de $X$.~\\ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \textbf{Correction:}\\