Arctan sans la nommer – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{De sa plume en titane, il s'était adonné\\ à l'étude d'arctan, sans même la nommer.\\} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 2 heures)\hfill \textit{}\\ \textit{On rappelle la formule générale permettant de dériver une composée de fonctions (sous réserve de dérivabilité) : si $w(x) = v(u(x))$, alors $w'(x) = u'(x)\times v'(u(x))$}\\ Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[0~;~1]$ telle que : $f(0) = 0 \text{ et } f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $[0~;~1]$}.$\\ \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0~;~1]$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ par $g(x) = f\left(\tan(x)\right)$.~\textit{On rappelle : $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$} \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction tan est dérivable sur $]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}[$, et exprimer sa dérivée $\text{tan}'$ de deux façons différentes : une en fonction de cos, et une autre en fonction de tan \item Calculer les limites de la fonction tan aux bornes de l'intervalle précédent. \item Dresser le tableau de variation complet de la fonction tan sur $[0~;~\dfrac{\pi}{4}]$ \item Justifier que $g$ est dérivable sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, puis que, pour tout $x$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g^{\prime}(x) = 1$. \item Montrer que, pour tout $x$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g(x) = x$, et en déduire que $f(1) = \dfrac{\pi}{4}$. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\pi}{4}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(I_n\right)$ la suite définie par $I_0 = \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\:\text{d}x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n f(x)\:\text{d}x $. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $[a,b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables (de dérivées continues) sur $[a;b]$. Montrer l'égalité suivante : $\displaystyle\int_{a}^{b}u'(x)v(x) \text{d}x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \displaystyle\int_{a}^{b} u(x)v'(x)\:\text{d}x$ Cette égalité s'appelle une intégration par parties. \item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $I_0 = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\ln (2)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n \geqslant 0$. \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n \leqslant \dfrac{\pi}{4(n + 1)}$. \item En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \center{\textbf{Correction:}}\\$