Que ce soit au lycée ou dans le supérieur, lorsqu’il se décide à relire son cours de mathématiques, l’élève ne peut que constater la part importante que prennent, en termes de caractères, les démonstrations de cours. Il sait que certaines sont exigibles et, bon gré mal gré, en retient tant bien que mal les étapes principales, au cas où son professeur de maths sanctionnerait le brouhaha de la classe par une interrogation surprise (ou, pour les prépas, au cas où ça tomberait en khôlle). En relisant ses démos de cours avec ennui, l’élève se demandera souvent si son temps ne serait pas mieux employé à le consacrer exclusivement à l’apprentissage des propriétés sans démonstration et à leur application en refaisant les exercices vus en classe. La place que doivent prendre les démonstrations de cours dans la préparation d’un examen dépend bien entendu de la formation. Mais l’utilité de ces dernières est sous-estimée en général.
En premier lieu, la démonstration permet à l’élève de savoir d’où vient le théorème qu’on lui demande d’apprendre, et quel cheminement logique permet d’y aboutir. Lui présenter la démonstration permet d’éviter chez lui le sentiment qu’on lui parachuterait des informations au lieu de les lui inculquer. J’en veux pour preuve l’insatisfaction qu’on peut ressentir, en tant qu’élève, lorsque le professeur nous dit que la propriété est » admise « .
Mais au-delà de ce côté le plus évident de leur utilité, les démonstrations de cours – exigibles ou non – forment un pont très avantageux entre le cours et les exercices. Une démonstration peut être elle-même vue comme un exercice (souvent bien plus difficile que les exercices d’application directe du cours), voire, en fonction de la longueur, comme un problème. En maîtriser les étapes principales peut permettre à l’élève, face à un problème complexe, d’avoir une intuition, une idée de résolution qu’il n’aurait jamais eue sans connaître ladite démonstration. Par exemple, la démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (et notamment l’intérêt qu’elle revêt en mêlant astucieusement propriétés géométriques et étude de trinôme du second degré) ouvre à l’élève tout un champ d’idées applicables à la résolution d’exercices divers et variés. De même pour la démonstration de la formule du triangle de Pascal.
En conclusion, il est rarement contre-productif de s’attarder sur une démonstration de cours bien rédigée, à condition de faire les bons choix en termes de priorité temporelle : il ne s’agit évidemment pas de bloquer des heures durant sur l’explication d’un passage un peu flou dans une démo interminable, et ce au détriment d’autres points de cours ou de l’entraînement sur des exercices ou annales.
