Ln et son carré

    \begin{flushright} \textit{Excitant la marée, les voiles vent debout,\\ ln et son carré se battent devant nous.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~(temps conseillé : 1 h 20 min)\hfill d'après bac S Liban, juin 2007\\ Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \ln x~ \text{et}~ g(x) = (\ln x)^2.\] On note $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ les courbes représentatives respectives de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $(\ln x)(1 - \ln x)$ sur $]0~;~+\infty[$. \item En déduire la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item Pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, $M$ est le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ est le point de $\mathcal{C}'$ de même abscisse. \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = f(x) - g(x)$. Étudier les variations de la fonction $h$ sur $]0~;~+\infty[$. \item En déduire que sur l'intervalle [1~;~e], la valeur maximale de la distance $MN$ est obtenue pour $x = \sqrt{\text{e}}$. \item Résoudre dans $]0~;~+\infty[$ l'équation $(\ln x)^2 - \ln x = 1$. \item En déduire que, sur ]0~;~1[\: $\cup~ ]\text{e}~;~+ \infty[$, il existe deux réels $a$ et $b$ ($a < b$) pour lesquels la distance $MN$ est égale à $1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x) = x \ln x - x$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$. \item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x\: \text{d}x$. \item Vérifier que la fonction $G$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = x \left[(\ln x)^2 - 2 \ln x +2\right]$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$. \item On considère la partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C},~\mathcal{C'}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ en unités d'aire de cette partie du plan.\\ \end{enumerate} \end{enumerate} \center{\textbf{Correction:}}\\