Triangles équilatéraux avec j

\begin{flushright} \textit{Je veux voir vous quitter ces expressions perplexes\\ que peuvent susciter trois affixes complexes.\\} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill \textit{bac S Asie, juin 2015}\\ Le plan est muni du repère orthonormé direct \Ouv. On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{complexes} Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux. \bigskip \textbf{Partie A : propriétés du nombre j} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $z^2 + z + 1 = 0$.\index{complexes} \item Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation. \end{enumerate} \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle. \item Démontrer les égalités suivantes: \begin{enumerate} \item j$^3 = 1$ ; \item j$^2 = - 1 - \text{j}$. \end{enumerate} \item On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$. On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$. \item En déduire que AC = BC. \item Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$. \item En déduire que le triangle ABC est équilatéral.\\ \end{enumerate} \center{\textbf{Correction:}}\\