Injectivité, surjectivité, bijectivité et composition

$\LARGE \begin{flushright} \textit{Prisonniers de ce songe, par nos yeux nous errons :\\ Composées à rallonge, nous perdant dans les ronds.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 35 min)\\ Soient $f$ et $g$ deux applications d'un ensemble $E$ dans lui-même. Soit id l'application identité de $E$ dans lui-même. 1) Montrer que si $f$ est injective et si $f\circ g = f$, alors $g = \text{id}$ 2) Montrer que si $f$ est surjective et si $g\circ f = f$, alors $g = \text{id}$ 3) Montrer que si $f\circ g = \textit{id}$, alors $f$ est surjective et $g$ est injective. 4) On supposera désormais que $f \circ g \circ f = g$, que $g \circ f \circ g = f$, et que $f$ est injective ou surjective.\\ a) Montrer que $g\circ f \circ f \circ g = \text{id}$, et en déduire que $g$ est bijective.\\ b) Montrer que $g \circ g = f \circ f$. En déduire une expression simplifiée de $f\circ f \circ f \circ f$, et en conclure que $f$ est bijective.\\ \textbf{Correction:}\\$