Fermeture des polynômes unitaires scindés de Rn[X]

\begin{flushright} \textit{Tous les taupins en tremblent ! Scindés et unitaires, \\ Fermés dans leur ensemble, soudés et solidaires.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\\ Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on appelle $H_n$ l'ensemble des polynômes unitaires scindés de $\mathbb{R}_n[X]$. 1) Soit $P$ un polynôme unitaire de $\mathbb{R}_n[X]$ .Montrer que $P$ appartient à $H_n$ si et seulement si pour tout $z \in \mathbb{C},~|P(z)| \geq |\text{Im}(z)|^n$. 2) En déduire que $H_n$ est un fermé de $\mathbb{R}_n[X]$.\\ \textbf{Correction:}\\