Un lambda pour les gouverner tous

$\begin{flushright} \textit{Entre il existe et quel que soit,\\ quel algébriste reste coi ?} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant : $\forall x \in E,~ \exists~\lambda \in \mathbb{K},~u(x) = \lambda x$.~~~~(1) Montrer qu'on a en fait : $\exists~\lambda \in \mathbb{K},~\forall x \in E, ~u(x) = \lambda x$.~~~~(2)\\ \textbf{Correction:}\\$