Famille « assez proche » de la base canonique

$\Large \begin{flushright} \textit{Campant dans un marais sous une sombre averse,\\ notre base est trop près de cent canons adverses.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\hfill\textit{}\\ Soit $n \in \mathbb{N}^*$. $\mathbb{R}^n$ est muni du produit scalaire canonique.\\ ~~\\ Soit $(e_1,...,e_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$, et soit $(f_1,...,f_n)$ une famille d'éléments de $\mathbb{R}^n$ telle que:\\ $\forall k \in \llbracket 1~;~n\rrbracket,~||f_k - e_k|| < \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.~~Montrer que $(f_1,...,f_n)$ est une base de $\mathbb{R}^n$.\\$

Correction :