Du x sur une borne

\LARGE \begin{flushright} \textit{Perché sur l'intégrale et surplombant le t\\ le x contre-amiral contemple la jetée.} \end{flushright}\\ \Huge \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{D'après EDHEC 2018 ECE}\\ On considère la fonction $f$ qui à tout réel $x$ associe :\\ $f(x)=\displaystyle\int_0^x\ln\left(1+t^2\right)~\text{d}t$. \begin{enumerate} \item[1)] \begin{enumerate} \item[a)] Justifier que $f(x)$ est bien défini pour tout réel $x$. \item[b)] Déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. \item[c)] Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ est continue sur $\mathbb{R}$ (on dit alors que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$). Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$. \item[d)] En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.\\ \end{enumerate} \item[2)] \begin{enumerate} \item[a)] Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :\\ $\forall t\in \mathbb{R}, \quad \dfrac{t^2}{1+t^2}=a+\dfrac{b}{1+t^2}$ \item[b)] En déduire que pour tout réel $x$, on a :\\ $f(x)=x\left(\ln(1+x^2)-2\right)+2\displaystyle\int_0^x\dfrac{1}{1+t^2}~\text{d}t$ \end{enumerate} \end{enumerate}~~\\ \center{\textbf{Correction:}}

La correction est aussi disponible en vidéo ici :