Inégalité de Boole – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{La proba de l'union saurait-elle enchérir\\ sur la somme ? Et bien non; nous allons l'établir.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{d'après HEC-ESSEC ECE, 2020}\\ On se place dans un espace probabilisé d'univers $\Omega$, dans lequel seront considérés les événements de l'exercice.\\ 1) Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ et pour tous événements $B_1$, $B_2$, ... $B_n$, on a :\\ $P\big(\bigcup\limits_{k=1}^{n}~B_k\big) \leq \displaystyle\sum_{k=1}^n~P(B_k)$\\ 2) Soit $(B_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ une famille d'événements telle que la série $\displaystyle\sum_{k \geq 1}~P(B_k)$ converge.\\ ~~\\ Montrer que : $P\big(\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty}~B_k\big) \leq \displaystyle\sum_{k = 1}^{+\infty}~P(B_k)$$

Correction :