Probabilité de l’union et somme des probabilités

$\begin{flushright} \textit{La proba de l'union saurait-elle enchérir\\ sur la somme ? Et bien non; nous allons l'établir.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 10 min)\hfill\textit{d'après HEC-ESSEC ECE, 2020}\\ On se place dans un espace probabilisé d'univers $\Omega$, dans lequel seront considérés les événements de l'exercice.\\ Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ et pour tous événements $B_1$, $B_2$, ... $B_n$, on a : $P\big(\bigcup\limits_{k=1}^{n}~B_k\big) \leq \displaystyle\sum_{k=1}^n~P(B_k)$\\ ~~\\ \textit{On rappelle que $\bigcup\limits_{k=1}^{n}~B_k$ est tout simplement l'union des événements $B_1$, $B_2$,...$B_n$.}\\ \textit{Autrement dit : $\bigcup\limits_{k=1}^{n}~B_k = B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n$~~~~(et, en particulier, $\bigcup\limits_{k=1}^{1}~B_k = B_1$)}$
Si vous êtes familier avec les séries et les unions infinies d’événements, vous pouvez consulter cet énoncé (et sa correction détaillée) ici. Il s’agit du même exercice avec une question supplémentaire.

Correction :