Arctan et somme – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{\og Si! Sur le bout des doigts je connais mes formules!\\ - C'est très bien mais tu dois justifier tes calculs. \fg} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 15 min)\\ 1) Montrer que pour tout réel positif $x$ : $\arctan(x+1) - \arctan(x) = \arctan\big(\dfrac{1}{x^2+x+1}\big)$ 2) Déterminer $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\displaystyle\sum_{k=0}^n~\arctan\big(\dfrac{1}{k^2 + k + 1}\big)$\\ ~~\\ \textbf{Correction:}\\$