Autour de l’inégalité de Bernoulli

\begin{flushright} \textit{Voici donc le récit que cet écrit commente :\\ L'inverse rétrécit, mais la puissance augmente.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure 20 minutes)\\ On donne l'inégalité de Bernoulli : pour tout entier naturel $n$, pour tout réel $t \geq - 1$,~$(1+t)^n \geq 1 + nt$ (inégalité qu'on pourra utiliser dans la composition). Soit $x$ un nombre réel. On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N}^*$,~$u_n = \big(1+\dfrac{x}{n}\big)^n$ Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $a_n = 1+\dfrac{x}{n}$ 1) Montrer qu'il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$~~,~~$a_n > 0$ 2) Montrer que pour tout $n \geq n_0$,~$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \big(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n \times a_{n+1}$ 3) Pour tout $n \geq n_0$, on pose $t_n = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} - 1$\\ a) Calculer $t_n$ en fonction de $n$ et $x$.\\ b) Démontrer que pour tout $n \geq n_0,~\big(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n \geq 1 - \dfrac{nx}{(n+1)(n+x)}$\\ c) En déduire que pour tout $n \geq n_0,~\big(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n \times a_{n+1} \geq 1$\\ 4) En déduire que $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$.\\ 5) Expliquer pourquoi $\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n$ ne peut pas tendre vers $1$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\ \begin{center} {\textbf{Correction:}} \end{center}