Cette question revient très souvent sur les lèvres et dans les esprits des élèves. La situation la plus emblématique est celle de l’étape d’hérédité dans une récurrence. En bref, on explique aux élèves qu’il faut partir de P(n) pour démontrer P(n+1). Ce que l’on veut dire, c’est que l’on prend P(n) comme hypothèse ( « hypothèse de récurrence » ), et qu’on se fixe pour objectif d’arriver à P(n+1). Mais ce qu’en retiennent beaucoup d’élèves, c’est qu’il faut nécessairement écrire P(n) en premier lieu, afin, par transformations successives appliquées à P(n), d’arriver à P(n+1). Même si l’on peut s’en contenter dans bon nombre de cas, c’est parfois se brider inutilement.
Dans des situations « simples », par exemple où P(n) est une certaine inégalité, et où l’on peut facilement aboutir à P(n+1) par transformations successives licites, procéder ainsi peut suffire. Mais il peut arriver que le passage de P(n) à P(n+1) ne soit pas évident. Il peut arriver qu’en triturant P(n) sous tous les angles, on ne parvienne pas à P(n+1). Si par exemple, P(n) : « u(n) = (-1)^n », et si l’on connaît une relation entre u(n) et u(n+1), on peut s’en servir et commencer à écrire u(n+1) = … ( en remplaçant par son expression en fonction de u(n) ). Mais ne tombons-nous pas ainsi dans un des écueils les plus graves, à savoir partir de ce qu’il fallait démontrer ? Certainement pas. Nous ne sommes pas partis de u(n+1) = (-1)^(n+1).Si P(n+1) est une égalité, rien ne nous interdit de partir de l’un de ses membres, justement pour l’établir.
On n’aura donc pas forcément commencé par P(n), mais on l’aura utilisé, au cours de notre raisonnement, pour aboutir à P(n+1). C’est notamment le cas dans la question 2 de cet exercice.
Plus généralement, lorsque l’on suppose la proposition A et que l’on doit montrer la proposition B, on part de la connaissance de A (et peut-être d’autres choses connues par ailleurs) pour arriver à B. Il ne s’agit donc pas nécessairement de partir de l’écriture de la proposition A, pour obtenir, par transformations successives, la proposition B. En général, A doit plutôt être vue comme un objet dans notre boîte à outils, objet qu’on sera amenés à utiliser au cours de notre raisonnement pour parvenir à B. Il se peut que l’on se serve de A dès la première ligne de notre rédaction. Il se peut que non, que l’on parte plutôt d’une autre information à notre disposition, et que A serve à nous débloquer en cours de route.
