Exponentielle et équations différentielles

$\begin{flushright} \textit{Vous trouverez ici de quoi mater l'hiver\\ Lorsque l'humeur vacille : quelques maths et des vers.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\hfill\textit{D'après bac S Antilles-Guyane, juin 2008}\\ Une fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$ si :\\ pour tout réel $x$, $f'(x) + 2f(x) = 3\text{e}^{-3x}$. De même, on dit qu'une fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$ si : \\ pour tout réel $x$, $f'(x) + 2f(x) = 0$. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x } - 3\text{e}^{-3x}$ 1) Montrer que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}$ est une solution de $(E_2)$. 2) Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est une solution de l'équation $(E_1)$. 3) En déduire que la fonction $u$ est une solution de $(E_1)$. \medskip 4) Déterminer les limites de $u$ en $+\infty$ et en $- \infty$. 5) Étudier les variations de la fonction $u$ et dresser son tableau de variations. 6) Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $u$ dans un repère orthonormal \Oij{}. Calculer les coordonnées du points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées.\\ \center{\textbf{Correction:}}\\$