Exponentielle et étude de fonction

$\begin{flushright} \textit{S'il dérive à toute heure, l'élève qui s'en sort\\ esquive les erreurs et redérive encore.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill\textit{D'après bac S Antilles-Guyane, sept 2008}\\ ~~\\ \textit{On pourra utiliser le fait que pour tout réel $a >0$, l'équation $e^x = a$ admet pour unique solution $x = \text{ln}(a)$}\\ ~~\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.$ On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{}. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$. \item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x - 2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$, on a : $f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2$ \item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4}x + 1$. \item Étudier les variations de $f'$ sur $\mathbb{R}$.\\ \end{enumerate} \end{enumerate} \center{\textbf{Correction:}}\\$