Somme et projecteur – Ayoub et les maths

$\Large \begin{flushright} \textit{Après labeur lisez cet écrit qui dépeint\\ les projecteurs braqués sur vous frêles taupins.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\\ Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, et soient $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant : $u^n = \text{Id}_E$\\ Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$, et soit $p$ un projecteur de $E$ d'image $F$.\\ On définit l'endomorphisme $q$ de $E$ par $q = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n u^k \circ p\circ u^{n-k}$ 1) Montrer que $u$ et $q$ commutent. 2) Déterminer $p \circ q$. 3) Montrer que pour tout vecteur $x$ de $F$, $q(x) = p(x)$ 4) Montrer que $q$ est un projecteur.\\ \center{\textbf{Correction:}}\\$