Calcul de la somme d’une série alternée

$\begin{flushright} \textit{Pour ce problème à qui pourrais-je me fier ?\\ Au couturier anglais, mais mal orthographié.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{}\\ 1) Montrer que pour tout réel positif $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$ :\\ $\big|\ln(1+x) - \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}x^k\big| \leq \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$\\ 2) Montrer que la série $\displaystyle\sum_{k\geq 1}~\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}$ converge et déterminer sa somme.\\ \textbf{Correction:}\\$