Corollaire du lemme de Grönwall

$\begin{flushright} \textit{De bonds en désarrois, les sujets qu'on dévale\\ Nous ont mené tout droit au lemme de Grönwall.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{}\\ Soit $c$ un réel positif. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur un segment $[a~;b]$ vérifiant, pour tout réel $x$ de $[a~;b]$ : $f(x) \leq c + \displaystyle\int_{a}^x f(t)g(t)\:\text{d}t $\\ Le but de cet exercice est de montrer que pour tout réel $x$ de $[a~;b]$ : $f(x) \leq c \exp\big(\displaystyle\int_{a}^x g(t)\:\text{d}t\big)$\\ 1) Soient les fonctions $u$ et $v$ définies sur $[a~;b]$ par $u(x) = c + \displaystyle\int_{a}^x f(t)g(t)\:\text{d}t$ et\\ $v(x) = u(x)\exp\big(- \displaystyle\int_{a}^x g(t)\:\text{d}t\big)$.~~Étudier les variations de $v$ sur $[a~;b]$.\\ 2) Conclure.\\ \textbf{Correction:}\\$