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begin{flushright} textit{De bonds en désarrois, les sujets qu'on dévale\ Nous ont mené tout droit au lemme de Grönwall.} end{flushright} textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)hfilltextit{}\ Soit $c$ un réel positif. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur un segment $[a~;b]$ vérifiant, pour tout réel $x$ de $[a~;b]$ : $f(x) leq c + displaystyleint_{a}^x f(t)g(t):text{d}t $\ Le but de cet exercice est de montrer que pour tout réel $x$ de $[a~;b]$ : $f(x) leq c expbig(displaystyleint_{a}^x g(t):text{d}tbig)$\ 1) Soient les fonctions $u$ et $v$ définies sur $[a~;b]$ par $u(x) = c + displaystyleint_{a}^x f(t)g(t):text{d}t$ et\ $v(x) = u(x)expbig(- displaystyleint_{a}^x g(t):text{d}tbig)$.~~Étudier les variations de $v$ sur $[a~;b]$.\ 2) Conclure.\ textbf{Correction:}\