Rang de la partie réelle d’une matrice complexe

$\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ \textit{(Pour toute matrice $M$ à coefficients complexes, $\overline{M}$ désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de $M$.)}\\ Soit $n$ un entier naturel non nul. 1) Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$.\\ Montrer : $\text{rg}(f+g) \leq \text{rg}(f) + \text{rg}(g)$ 2) Soit $p \in \mathbb{N}^*$, et soient $X_1,...,X_p$ $p$ vecteurs de $\mathbb{C}^n$. Montrer que la famille $(X_1,...,X_p)$ est libre (dans le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}^n$) si et seulement si la famille $\big(\overline{X_1},...,\overline{X_p}\big)$ est libre. 3) Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, et soit $R$ sa partie réelle. Montrer que $\text{rg}(R) \leq 2\text{rg}(A)$.\\ \textbf{Correction:}\\$