Convergence en loi

\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 15 min)\hfill\textit{d'après oral HEC, 2014}\\ Soit $(U_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ et de même loi uniforme sur $[0,1]$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $N_n$ est une variable aléatoire définie sur $\Omega$, indépendante de tous les variables aléatoires de la suite $U$, et suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ (avec $n \geq 1$ et $0 < p < 1$) On pose $M_n = \max(U_1, U_2...,U_n)$ et $T_n = \left \{ \begin{array}{rcl} U_1&~\text{si l'événement}~& [N_n = 0]~\text{est réalisé}\\ M_k&~\text{si l'événement}~& [N_n = k]~\text{est réalisé}~~(k \geq 1) \end{array} \right.$ Étudier la convergence en loi de $(T_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$\\ \textbf{Correction:}\\