Logarithme et suite – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Voici pourquoi je fais souvent telle jonction :\\ Dans nombre de sujets, suite épouse fonction.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill\textit{D'après EM Lyon 2010 ECE}\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = x - \ln(1+x^2)$\\ 1)a) Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$. ~~~b) Montrer que pour tout réel $x \geq 0$,~$f(x) \geq 0$ 2) Calculer, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f''(x)$. 3)a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. ~~~b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.\\ \textit{Indication : on pourra montrer que pour tout $x \geq 1$,~$1+x^2 \leq 2x^2$} 4) Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$ ~~~a) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. ~~~b) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq 0$ ~~~c) Établir que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.\\ \textbf{Correction:}\\$