Caractérisation des matrices de rang 1

$\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 15 min)\\ Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. 1) Montrer qu'une matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ est de rang 1 si et seulement si il existe deux matrices colonnes non nulles $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $Y \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})$ telles que $A = X~^t Y$~~(où $~^t Y$ est la transposée de $Y$) 2) Cette écriture est-elle unique ?\\ \textbf{Correction:}\\$