Loi des poissons

\begin{flushright} \textit{Debout lutte après lutte. Pourquoi vivrions-nous\\ si atteindre son but se faisait sans remous ?}\\ \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure 15 minutes)\hfill\textit{}\\ On rappelle que pour tout entier naturel $n$ non nul, $n ! = 1 \times 2 \times ... \times n$.\\ Ainsi, $1! = 1$, $2! = 2$, $3! = 6$, $4! = 24$... Et par convention, $0! = 1$ Soit $x$ un réel strictement positif.\\ Le vieux Santiago part à la pêche aux poissons. Il peut choisir soit de pêcher dans le port, soit de prendre le large pour pêcher dans le Gulf Stream. Soit $X$ le nombre de poissons qu'il ramène de sa pêche. $X$ est une variable aléatoire qui peut prendre comme valeur n'importe quel entier naturel, selon les règles suivantes : - si Santiago choisit de pêcher dans le port : pour tout entier naturel $k$, la probabilité qu'il ramène $k$ poissons est $\dfrac{e^{-2x}\times (2x)^k}{k!}$ - s'il choisit de pêcher dans le Gulf Stream : pour tout entier naturel $k$, la probabilité qu'il ramène $k$ poissons est $\dfrac{e^{-x}\times x^k}{k!}$\\ ~~\\ Soit $G$ l'événement : \og Santiago choisit de pêcher dans le Gulf Stream \fg. On pose $P(G) = \dfrac{1}{4}$\\ 1) Montrer que la probabilité que Santiago revienne bredouille de sa pêche est $\dfrac{1}{4}\big(3\text{e}^{-2x} + \text{e}^{-x}\big)$\\ 2) Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle cette probabilité est égale à $\dfrac{1}{2}$\\ 3)a) Santiago veut pêcher exactement trois poissons (ni plus, ni moins). Pour quelle valeur de $x$ n'a-t-il aucune raison de préférer l'un ou l'autre des lieux de pêche ? On la notera $x_3$. b) Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $x_n$ la valeur de $x$ pour laquelle Santiago est indifférent quant au choix du lieu de pêche, lorsqu'il veut pêcher exactement $n$ poissons. Montrer que $(x_n)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison.\\ 4) Soit $x > 0$.~Déterminer $\underset{k\rightarrow +\infty}{\lim}~\dfrac{P_G(X=k)}{P_{\overline{G}}(X=k)}$\\ 5) On admettra le résultat suivant : pour tout réel $a$,~$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\displaystyle\sum_{k=0}^n~\dfrac{a^k}{k!} = e^a$\\ Calculer $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\displaystyle\sum_{k=0}^n~k\times \dfrac{e^{-x}\times x^k}{k!}$, et interpréter le résultat.\\ ~~\\ \textbf{Correction:}\\