Isomorphisme d’un espace matriciel vers son dual

$\begin{flushright} \textit{Tout un peuple alité de Dax à Épinal ;\\ étudions quant à nous l'espace et son dual.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, pour tous entiers $i$ et $j$ de $\llbracket 1;n \rrbracket$,~on note $M_{i,j}$ le coefficient de $M$ à la $i$-ème ligne et $j$-ième colonne.\\ Pour tous $a$ et $b$ de $\llbracket 1;n \rrbracket$, on note $E^{a,b}$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui à la $a$-ième ligne et $b$-ième colonne, qui vaut $1$.\\ Enfin, si $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, on note $E^* = \mathcal{L}\big(E,\mathbb{R}\big)$ l'ensemble des formes linéaires sur $E$, appelé aussi dual de $E$. 1) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Déterminer, pour tous entiers $a$ et $b$ de $\llbracket 1;n \rrbracket$, la matrice $AE^{a,b}$ 2) Pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on note $f_A$ l'application de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ qui, à toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, associe $f_A(M) = \text{Tr}(AM)$.\\ On note $\Phi$ l'application qui, à toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, associe $\Phi(A) = f_A$.\\ Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vers $\big(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\big)^*$\\ \textbf{Correction:}\\$