Suite convergeant vers 0

\begin{flushright} \textit{Ne tombez point des nues. Dans vos atouts puisez :\\ un saut vers l'inconnu peut être maîtrisé.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\\ Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs convergeant vers $0$. Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs bornée vérifiant, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \leq \dfrac{u_n + a_n}{2}$ Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $0$.\\ \textbf{Correction:}\\