Groupe de morphismes de groupes – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Interne, associative, élément neutre, inverse,\\ et d'une marche hâtive, la preuve tu traverses.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 20 min)\hfill\textit{d'après agrégation interne 2018}\\ Soit $(G,+)$ un groupe abélien (c'est-à-dire commutatif). On note $\hat{G}$ l'ensemble des morphismes de $G$ dans le groupe multiplicatif $\mathbb{C}^*$, c'est-à-dire des applications $f : G \rightarrow \mathbb{C}^*$ vérifiant : $\forall x, y \in G,~f(x+y) = f(x)\times f(y)$.\\ Pour tous $f_1, f_2 \in \hat{G}$, on note $f_1*f_2 : G \rightarrow \mathbb{C}^*$ l'application $x \mapsto f_1(x)f_2(x)$\\ 1) Montrer que l'ensemble $\hat{G}$ est non vide. 2) Montrer que $(\hat{G},*)$ est un groupe abélien.\\ \textbf{Correction:}\\$