Classe de Gevrey

\begin{flushright} \textit{Matant ses dérivées, cette fonction œuvrait\\ dans l'espoir d'intégrer la classe de Gevrey.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\hfill\textit{D'après ENS MP 2016}\\ Soient $s \in [1~;+\infty[$ et $I = [a~;b]~(a < b)$. Soit $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$.\\ Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $f^{(n)}$ la dérivée $n$-ième de $f$.~~\big( $f^{(0)} = f$)\\ $f$ est dite dans la classe de Gevrey d'ordre $s$ sur $I$ s'il existe $C > 0$ et $R > 0$ tels que :\\ $\forall n \in \mathbb{N},~\forall x \in I,~|f^{(n)}(x)| \leq C\dfrac{(n!)^s}{R^n}$.~~On note alors $f \in \mathcal{G}^s(I)$.\\ 1) Montrer que $\mathcal{G}^s(I)$ est un espace vectoriel. 2) Montrer que $\mathcal{G}^s(I)$ contient les fonctions polynomiales.\\ \textit{On pourra utiliser le fait que toute fonction continue sur un segment $I$ est bornée.}\\ \textbf{Correction:}\\