Intégrales et majoration

\begin{flushright} \textit{L'on peut être présent sans que cela se voie.\\ L'invisible quotient fait entendre sa voix.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{D'après Mines-Ponts PC 2008}\\ Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ à valeurs réelles. On suppose que $f'$ ne s'annule pas sur $[a~;b]$ et que pour tout $ t \in [a~;b],~f''(t) \geq 0$ 1) Justifier qu'il existe $K > 0$ tel que pour tout $t \in [a~;b],~|f'(t)| \geq K$ 2) Montrer l'inégalité suivante : $\big|\displaystyle\int_a^b~\dfrac{f''(t)}{\big(f'(t)\big)^2}~\text{d}t\big| \leq \dfrac{2}{K}$ 3) Établir l'inégalité suivante : $\big|\displaystyle\int_a^b~\cos\big(f(t)\big)~\text{d}t\big| \leq \dfrac{4}{K}$\\ ~~\\ \textbf{Correction:}\\