Polynôme d’interpolation de Hermite

\begin{flushright} \textit{Ni jardins ni ciné car la ville est en berne :\\ Hermite est confiné dans sa jolie caverne.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{D'après CCP MP 2016}\\ Soit $p$ un entier naturel non nul. Soient $x_1,x_2,...,x_p,$ $p$ réels deux à deux distincts.\\ 1) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ et $a \in \mathbb{R}$. Démontrer que si $P(a) = P'(a) = 0$, alors $(X-a)^2$ divise $P$.\\ 2) Soient $2p$ réels quelconques $a_1, a_2,... a_p,~b_1, b_2,... b_p$.\\ Démontrer qu'il existe un unique polynôme $P_H \in \mathbb{R}_{2p-1}[X]$ tel que, pour tout entier $i$ vérifiant $1 \leq i \leq p$, on a $P_H(x_i) = a_i$ et $P'_H(x_i) = b_i$\\ \textit{On pourra poser une certaine application $\varphi$ de $\mathbb{R}_{2p-1}[X]$ vers $\mathbb{R}^{2p}$} \\ \textbf{Correction:}