Images et antécédents complexes

$\begin{flushright} \textit{Mis à part l'unité, tout élément de $\mathbb{C}$\\ a l'opportunité de se voir cabossé.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\hfill\textit{D'après bac S Pondichéry, mai 2001}\\ On considère l'application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de $1$, associe le nombre complexe\\ $f(z) = \dfrac{2 - iz}{1 - z}.$\\ L'exercice étudie quelques propriétés de $f$. A est le point d'affixe 1 et B celui d'affixe $- 2$i. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un réel. \item On pose $z' = f(z).$ \begin{enumerate} \item Vérifier que i n'a pas d'antécédent par $f$ et exprimer, pour $z'$ différent de i, $z$ en fonction de $z'$. \item $M$ est le point d'affixe $z$ ($z$ différent de 1) et $M'$ celui d'affixe $z'$ ($z'$ différent de $i$). Montrer que $OM = \dfrac{M'C}{M'D}$ où $C$ et $D$ sont les points d'affixes respectives $2$ et $i$. \item Montrer que, lorsque le point $M$ décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé du point $A$, son image $M'$ appartient à une droite que l'on déterminera. \item Montrer que, si $M$ est un point de l'axe des réels, différent de O et de A, alors $M'$ appartient à la droite (CD).\\ \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Correction:}\\$