Le minimum des minima ? – Ayoub et les maths

$\Large \begin{flushright} \textit{Pluriel de gens hautains ? Et bien tant pis je l'aime !\\ Je n'ai pas fait latin mais je frime quand même.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}\hfill \textit{bac S Nouvelle-Calédonie, nov 2015}\\%~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\\ ~~\\ Pour tout réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par : $f_a(x) = \text{e}^{x - a} - 2x + \text{e}^{a}.$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.\index{fonction exponentielle} \item Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?\\ \end{enumerate}$

Correction :