Prolongement par continuité

\begin{flushright} \textit{Le segment s'amenuise, mais surtout prenons garde\\ que le zéro ne nuise à nos lignes hagardes.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 20 min)\hfill\textit{}\\ Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;+\infty[$ par $f(x) = \displaystyle\int_{x}^{2x}~\dfrac{1}{t - \ln(t)}~\text{d}t$\\ 1) Montrer que $f$ est bien définie et continue sur $]0~;+\infty[$. 2) Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$.\\ \textbf{Correction:}\\