Convergence simple et uniforme vers la fonction gamma

$\begin{flushright} \textit{Les pages de la vie de ceci nous informent :\\ même un simple d'esprit peut porter l'uniforme.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 35 min)\hfill\textit{}\\ 1) Démontrer que pour tout $x > 0$,~la fonction $t \mapsto e^{-t}t^{x-1}$ est intégrable sur $]0~;+\infty[$. Pour tout $x > 0$, on note $\Gamma(x) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1}\:\text{d}t$\\ 2) Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,~on définit la fonction $f_n$ sur $]0~;+\infty[$ par $f_n(x) = \displaystyle\int_{0}^n \big(1 - \dfrac{t}{n}\big)^n t^{x-1}\:\text{d}t$\\ a) Montrer que la suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $\Gamma$ sur $]0~;+\infty[$.\\ b) Cette convergence est-elle uniforme ?\\ \textbf{Correction:}\\$