Tendre vers n’importe quel réel avec une série de sommes et différences d’inverses

$\begin{flushright} \textit{Crâne en ébullition, mes méninges me lancent\\ car cette indication fait preuve d'insolence.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~(temps conseillé : 40 min)\hfill\textit{d'après un exercice de colle MP* de Gabriel Pallier}\\ Soit $\alpha$ un nombre réel. 1) Montrer qu'il existe une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ d'éléments de $\lbrace -1;1\rbrace$ telle que $\alpha = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}~\dfrac{u_k}{k}$.\\ \textit{Indication : la série harmonique diverge.}\\ 2) Cette suite est-elle unique ? ~~\\ \textbf{Correction:}\\$