Puissances de matrice – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Lorsque les trahisons sur vous pleuvent à verse,\\ prévenez à raison les fourberies adverses.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{}\\ On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$\\ 1) Déterminer les valeurs propres de $M$ et les sous-espaces propres associés, ainsi qu'une base de chacun de ces sous-espaces propres. 2) Montrer qu'on peut écrire $M = D + N$ où $D$ est une matrice diagonale et, pour tout entier $k \geq 2$,~$N^k = 0$. 3) Déterminer, pour tout entier naturel $n$,~$M^n$ en fonction de $n$.\\ \textbf{Correction:}\$