Théorème de Lagrange

\begin{flushright} \textit{Du blé tendre du riz, de l'avoine ou du seigle,\\ aucun groupe fini ne contredit la règle.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\\ Soit $G$ un groupe multiplicatif fini d'élément neutre noté $e$, et soit $H$ un sous-groupe de $G$.\\ Pour tout élément $a$ de $G$, on note $aH = \lbrace ah,~~h \in H \rbrace$. On note $\emptyset$ l'ensemble vide.\\ 1) Soient $a$ et $b$ deux éléments de $G$. Démontrer que : $aH = bH$ ou $aH \cap bH = \emptyset$. 2) Montrer que pour tout élément $a$ de $G$, $aH$ a le même nombre d'éléments que $H$. 3) En déduire que le nombre d'éléments de $H$ divise le nombre d'éléments de $G$.\\ ~~\\ \textit{Autrement dit, si $G$ est un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$, alors $\text{card}~H | \text{card}~G$. C'est le théorème de Lagrange.}

Correction :