Encadrement et suites – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Garde présidentielle accompagnant la suite ?\\ Escorte exponentielle empêchant toute fuite !} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill\textit{D'après EDHEC ECE, mai 2016}\\ Soit une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à termes positifs telle que $\forall n \in \mathbb{N}$ : $e^{-\sqrt{u_n}} \leq u_n - n \leq e^{-\sqrt{n}}$ Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - n$.\\ 1) Montrer que $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~u_n = +\infty$ 2) Montrer que $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~v_n = 0$ 3) Établir que pour tout réel $x \geq 0$,~$\sqrt{1+x} \leq 1 + \dfrac{x}{2}$ 4) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,~$e^{-\sqrt{u_n}} \geq e^{-\sqrt{n}}\exp\big(\dfrac{-v_n}{2\sqrt{n}}\big)$ 5) Démontrer enfin que $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\dfrac{u_n-n}{e^{-\sqrt{n}}} = 1$\\$

Correction :