Suites d’intégrales – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Les hirondelles chantent. Confinement solaire.\\ Suites bien différentes, principes similaires.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 h 40 min)\\ 1) On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :\\ $u_n = \displaystyle\int_0^1~t^n\sin^2(t)~\text{d}t$ et $v_n = \displaystyle\int_0^1~t^n\cos^2(t)~\text{d}t$\\ a) Calculer $u_0$ et $v_0$.\\ b) Montrer que les suites $u$ et $v$ sont convergentes.\\ c) Déterminer leurs limites. 2) On considère la suite $(w_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $w_n = \displaystyle\int_0^1~t^ne^t~\text{d}t$.\\ a) Calculer $w_0$.\\ b) Montrer que la suite $w$ est convergente.\\ c) Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $w_{n+1} = e - (n+1)w_n$\\ d) Déterminer la limite de la suite $w$ de deux façons différentes.\\$

Correction :