Lemme de Schur

\begin{flushright} \textit{Le loup lui dit \og si ce n'est toi, c'est donc ton frère \fg\\ Ce qui se dit aussi : \og c'est toi ou c'est ton frère \fg} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 40 min)\hfill\textit{}\\ Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels de dimensions finies. On note $\mathcal{L}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ et $\mathcal{L}(E)$ l'ensemble des endomorphismes de E. On note $\text{Id}_E$ l'application identité sur $E$. On rappelle que, pour $u \in \mathcal{L}(E)$, un sous-espace vectoriel $A$ de $E$ est dit stable par $u$ si $u(A) \subset A$ (autrement dit, si, pour tout $x \in A, u(x) \in A$). On dit qu'une partie $U$ de $\mathcal{L}(E)$ est irréductible lorsque les seuls sous-espaces vectoriels de $E$ stables par tous les éléments $u$ de $U$ sont $E$ lui-même et $\lbrace0_E\rbrace$. 1) Soit $U$ une partie irréductible de $\mathcal{L}(E)$. Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$ vérifiant : $\forall u \in U, \exists~v \in \mathcal{L}(F),~ f \circ u = v \circ f$. Montrer que $f$ est nulle ou injective. 2) Soit $V$ une partie irréductible de $\mathcal{L}(F)$. Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$ vérifiant : $\forall v \in V, \exists~u \in \mathcal{L}(E),~ f \circ u = v \circ f$. Montrer que $f$ est nulle ou surjective. 3) Soit $U$ une partie irréductible de $\mathcal{L}(E)$ et soit $f$ un endomorphisme non nul de $E$ commutant avec tous les éléments de $U$. Montrer que $f$ est un automorphisme de $E$. 4) Soit $U$ une partie irréductible de $\mathcal{L}(E)$ et soit $f$ un endomorphisme de $E$ commutant avec tous les éléments de $U$. On suppose que $f$ admet une valeur propre réelle $\lambda$. Montrer que $f = \lambda \text{Id}_E$~~~\textit{On pourra s'intéresser à l'endomorphisme $f - \lambda\text{Id}_E$}\\

Correction :