Nombre de pioches nécessaires pour obtenir i boules distinctes

$\Large \begin{flushright} \textit{Combien nous faudrait-il de pioches en moyenne ?\\ L'infini se faufile en teintes népériennes.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 h 40 min)\hfill\textit{D'après Ecricome ECS 2010}\\ $r$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Une urne contient $r$ boules numérotées $1$,$2$,...,$r$. On pioche indéfiniment les boules avec remise, chaque boule pouvant être piochée de façon équiprobable. Pour tout entier $i \in \llbracket 1; r\rrbracket$, on désigne par $Y_i$ la variable aléatoire égale au nombre de pioches nécessaires pour obtenir $i$ boules distinctes. Il est immédiat que $Y_1 = 1$.\\ On désigne par $X_r$ la variable aléatoire égale au nombre de pioches nécessaires pour obtenir les $r$ boules numérotées $1$,$2$,...,$r$. Il est immédiat que $X_r = Y_r$.\\ On admettra que les variables aléatoires $Y_2 - Y_1$, $Y_3 - Y_2$,...,et $Y_r - Y_ {r-1}$ sont indépendantes.\\ 1) On suppose dans cette question que $r=3$.\\ a) Calculer, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,~$P(Y_2 > n)$.\\ b) Donner la loi de la variable aléatoire $Y_2$.\\ c) Justifier que pour tout $n \geq 1$,~$P(Y_3 - Y_2 = n) = \displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty}~P\big([Y_3 = n+k]\cap[Y_2 = k]\big)$, et en déduire la loi de la variable aléatoire $Y_3 - Y_2$.\\ 2) Soit $i \in \llbracket 1; r-1\rrbracket$\\ a) Déterminer $Y_i(\Omega)$ et $(Y_{i+1} - Y_i)(\Omega)$\\ b) Justifier que : $\forall n \geq 1,~\forall k \geq i$,~$P_{[Y_i=k]}(Y_{i+1}-Y_i = n) = \big(\dfrac{i}{r}\big)^{n-1}\big(1-\dfrac{i}{r}\big)$\\ c) En déduire que $E(Y_{i+1} - Y_i) = \dfrac{r}{r-i}$ et $V(Y_{i+1} - Y_i) = \dfrac{ri}{(r-i)^2}$\\ \textit{$E(.)$ et $V(.)$ désignant respectivement l'espérance et la variance}\\ d) Démontrer que $E(X_r) = r\displaystyle\sum_{i=1}^{r}~\dfrac{1}{i}$ et $V(X_r) = r^2\displaystyle\sum_{i=1}^{r}~\dfrac{1}{i^2} - r\displaystyle\sum_{i=1}^{r}~\dfrac{1}{i}$\\ 3) Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite définie par $u_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n~\dfrac{1}{i} - \ln(n)$\\ a) Déterminer la nature de la série $\displaystyle\sum_{n \geq 1}~(u_n - u_{n+1})$ et démontrer la convergence de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$\\ b) Prouver l'existence de deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $E(X_r) \underset{r \rightarrow +\infty}{=} r\ln(r) + \alpha r + o(r)$ et\\ $V(X_r) \underset{r \rightarrow +\infty}{\sim} \beta r^2$$

Correction :