Asymptotes et positions relatives

$\Large \begin{flushright} \textit{En l'un des infinis, par équations adroites,\\ Vois qu'à pas de fourmi, ta Courbe rejoint Droite.} \end{flushright} \textbf{\'Enonc\'e:}\\ Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{4x^2+1}-2x$ On appelle $C_f$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere. 1) D\'eterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En d\'eduire l'existence d'une asymptote \`a $C_f$. 2) D\'eterminer la limite de $f$ en $-\infty$. D\'emontrer que la droite $d$ d'\'equation $y=-4x$ est asymptote \`a $C_f$ en $-\infty$. 3) \'Etudier les positions relatives de $d$ et $C_f$.\\ \center{\textbf{Corrig\'e:}}\\$