Suite et exponentielles

\begin{flushright} \textit{Vif comme un coup d'épée, l'esprit poli, vaillant,\\ De votre cours drapé, soyez polyvalent.} \end{flushright} \textbf{Enoncé:}\\ Soit $a$ un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par: $u_0 = a$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = e^{2u_n} - e^{u_n}$. 1) Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x$.\\ a) Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$.\\ b) Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.\\ c) Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. 2) Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$.\\ a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$.\\ b) Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\\ c) Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 3) Dans cette question, on suppose que $a > 0$.\\ a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)$.\\ b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant a + n \times g(a)$.\\ c) Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\\ \textbf{Corrig\'e:}\