Utilisations judicieuses du TAF

\textit{Rappelez-vous, le titre donné en TD à cet exercice était "Steve avait un bon Job." Jeu de mot admirable, s'il en est, d'un chargé de TD profitant outrageusement de sa position pour écouler des calembours qui seraient socialement inacceptables par ailleurs.} \textit{L'autre intérêt de ce titre, c'est qu'il s'agissait d'un clin d'oeil indiquant la méthode à utiliser pour résoudre l'exercice. Qui dit job dit TAF... Mais la question qui subsiste, et à laquelle je vais tenter de répondre, est la suivante: sachant qu'un exercice de partiel est peu susceptible de s'intituler "Steve avait un bon Job", comment pouvons-nous avoir l'intuition du théorème à utiliser sans de telles indications extratextuelles?}\\ \textbf{Enoncé:}\\ 1) Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f:x\rightarrow (x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}$ 2) Soit la suite $u$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n=\sqrt[n]{n}$.\\ a) Montrer que $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang.\\ b) Montrer que $(u_n)$ est minorée par $1$.\\ c) Montrer que $(u_n)$ converge vers $1$.\\ \textbf{Correction:}\\