Croissances comparées et intégrales 1

$\begin{flushright} \textit{Ils voient dans chaque étoile un récit de leurs mythes,\\ Je vois dans l'intégrale un calcul de limite.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Le but de cet exercice est de démontrer $\underset{x\rightarrow + \infty}{\lim} \dfrac{e^x}{x} = + \infty$ en utilisant des intégrales. On note $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ 1) Déterminer $f'$, la dérivée de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$ 2) Justifier que pour tout réel $x \geq 1$,~~$f(x) = e + \displaystyle\int_1^x \dfrac{e^t(t-1)}{t^2}~\text{d}t$ 3) En déduire que pour tout réel $x \geq 1$,~~$f(x) \geq e + e\big(\text{ln}(x) + \dfrac{1}{x} - 1\big)$ 4) Conclure.\\ \textbf{Correction:}\\$