Suite parabolique

    \begin{flushright} \textit{Le nombre a-t-il besoin d'une sage auréole ?\\ Les maths offrent du moins de belles paraboles.} \end{flushright} ~~\\ \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 55 min) \hfill Polynésie, juin 2014\\ ~~\\ On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par \[u_{0} = 0\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n + 2.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \item On considère les deux algorithmes suivants :\\\medskip {\small \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l X|l X|}\hline \textbf{Algorithme 1}& &\textbf{Algorithme 2}&\\ \hline \textbf{Variables :}& $n$ est un entier naturel&\textbf{Variables :}& $n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un réel & &$u$ est un réel \\ \textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$&\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\ \textbf{Traitement :}& $u$ prend la valeur 0&\textbf{Traitement :}& $u$ prend la valeur $0$\\ &Pour $i$ allant de $1$ à $n$: && Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :\\ &\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$&&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\ & Fin Pour& &Fin Pour\\ \textbf{Sortie :}& Afficher $u$&\textbf{Sortie :}& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx}} \medskip De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ? \item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée.\\ \medskip \parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline n &u_{n}\\ \hline 0& 0 \\ \hline 1& 2 \\ \hline 2& 6 \\ \hline 3& 12 \\ \hline 4& 20 \\ \hline 5& 30 \\ \hline 6& 42 \\ \hline 7& 56 \\ \hline 8& 72 \\ \hline 9& 90 \\ \hline 10& 110\\ \hline 11& 132\\ \hline 12& 156\\ \hline \end{array}$} \hfill \parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0375cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(13,170) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)} \multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(13,170) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(1,2)(2,6)(3,12)(4,20)(5,30) (6,42) (7,56) (8,72) (9,90) (10,110)(11,132)(12,156) \end{pspicture}} \medskip\\ \begin{enumerate} \item Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Démontrer cette conjecture. \item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies. \end{enumerate} \item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2)$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} ~~\\ \center{\textbf{Correction:}}