Nombre de solutions d’une équation logarithmique

\begin{flushright} \textit{Combien de solutions pour l'équation tordue\\ Qui n'a pour vocation que de nous voir perdus ?} \end{flushright} ~~\\ \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min) \hfill Antilles-Guyane, septembre 2014\\ On considère l'équation $\left(E_{1}\right)$ : $\text{e}^x - x^n = 0$ où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l'équation $\left(E_{2}\right)$ : $\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0$ \item Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\left(E_{1}\right)$ admet-elle deux solutions ? \end{enumerate} ~~\\ \textbf{Correction:}\\