Loi normale et taille hommes/femmes

\begin{flushright} \textit{Le résultat est proche ! Entendez-vous tinter\\ Ces deux courbes en cloche aux rebords esquintés ?} \end{flushright} ~~\\ \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min) \hfill Polynésie, juin 2015\\ Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65~ans peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_1 = 165$~cm et d'écart-type $\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_2 = 175$~cm et d'écart-type $\sigma_2 = 11$~cm. \index{loi normale} Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53~mètre et 1,77~mètre ? \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70~mètre. \item De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52\,\% de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de $1,70$~m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ? \end{enumerate} \end{enumerate}~~\\ \textbf{Correction:}